[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti

Marzo 1st, 2017 | by Marcello Colozzo |

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Fig. 1. Le funzioni f1(x)=2(1-cosx) e f2(x)=x² sono infinitesimi equivalenti per x->0. Pertanto hanno la stessa parte principale rispetto all'infinitesimo g(x)=sinx. Geometricamente significa che i rispettivi grafici tendono a sovrapporsi in un intorno di x=0.

Proposizione
Siano f1(x) e f2(x) due infinitesimi equivalenti (per x->x0).
Se fk(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che fh(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.
Dimostrazione
Sia

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cosicché
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Per ipotesi f1(x) e f2(x) sono equivalenti:

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Segue
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Pertanto
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onde l'asserto.
c.d.d.
Esempio
Consideriamo gli infinitesimi in x=0:
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Tenendo conto del limite fondamentale
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segue immediatamente
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onde l'equivalenza degli infinitesimi assegnati. Determiniamo la parte principale di f1(x) rispetto all'infinitesimo g(x)=sinx. Innanzitutto calcoliamone l'ordine:

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cosicché f1(x) è del second'ordine rispetto a g(x), ed ammette la seguente decomposizione:
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per cui
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Per la proposizione precedente:s

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Cioè

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I vari andamenti sono illustrati in fig. 1.








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