» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti]

giovedì, Febbraio 23rd, 2017

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Per determinare il limite del rapporto degli infinitesimi f(x) e g(x) può essere utilizzato un potente teorema:
Teorema 1 (Principio di sostituzione degli infinitesimi)
Ipotesi

1. Siano f(x) e g(x) infinitesimi (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo
   
   con f₁(x),f₂(x),g₁(x),g₂(x) tali che f₂(x) è di ordine superiore a f₁(x), e g₂(x) è di ordine superiore a g₁(x).
2. Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.

Tesi
Il rapporto f₁(x)/g₁(x) è regolare in x0 e si ha

Dimostrazione
Per ipotesi esiste il limite (finito o infinito):

Segue

Per ipotesi

onde l'asserto.
c.d.d.
Da tale teorema segue che nel calcolo del limite

è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infinitesimi di ordine superiore.
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[¯|¯] Esercizio 693. Calcolo di un limite attraverso il principio di sostituzione degli infinitesimi

giovedì, Aprile 2nd, 2009

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