» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Facciamo a meno degli infinitesimi di ordine superiore

martedì, Marzo 7th, 2017

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Vediamo "ad occhio" che 5x³+sin²xcos x è di ordine superiore rispetto a 2tan3x. Precisamente, si tratta di un infinitesimo del secondo ordine rispetto a x (e quindi rispetto a 2tan3x). Infatti:

da cui α=2 in virtù del teorema dell'ordine della somma di infinitesimi. Quindi a numeratore è lecito trascurare tale termine. A denominatore il secondo addendo, ovvero il termine tan²xsin x, è del terzo ordine rispetto al primo, cioè trascurabile.
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[¯|¯] Calcolo di limiti con il Principio di sostituzione degli infinitesimi

martedì, Marzo 7th, 2017

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Il Principio di sostituzione degli infinitesimi può essere utilizzato nel calcolo di limiti di funzioni che presentano indeterminazione.

Numeratore e denominatore sono manifestamente infinitesimi in x=0, onde il loro rapporto da luogo alla forma indeterminata 0/0. Determiniamo l'ordine dei singoli addendi. A tale scopo osserviamo che tenendo conto del limite fondamentale

si ha

per cui 5^2x-1 è del primo ordine rispetto a x. Più specificatamente, sussiste l'equivalenza tra infinitesimi:

Per quanto riguarda la funzione arctan sappiamo che

Perciò

Segue

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