Applicazione dell'uso degli integrali primi: il pendolo semplice

giovedì, Ottobre 29th, 2020

integrale primo del moto,energia meccanica,pendolo semplice

In questa lezione trattiamo un'applicazione istruttiva del concetto di integrale primo del moto. Precisamente, consideriamo il caso del pendolo semplice in condizioni ideali ovvero trascurando la resistenza dell'aria e assumendo un filo ideale (inestensibile e di massa nulla).
Ricaveremo un'equazione differenziale che manipolata opportunatamente ci consentirà di determinare il periodo del moto nel limite delle piccole oscillazioni, ritrovando l'equazione dedotta dal secondo principio della dinamica.
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Lavoro eseguito da una forza applicata a un pendolo semplice

giovedì, Ottobre 22nd, 2020

lavoro eseguito da una forza,pendolo semplice,forma differenziale lineare — **Fig. 1**

Sia dato un pendolo semplice costituito da una massa puntiforme m sospesa ad un punto fisso C mediante un filo di lunghezza l (fig. 1). La massa è inizialmente in posizione di riposo O. Viene quindi applicata una forza orizzontale F tale da mantenere il corpo in equilibrio in ogni posizione. Si determini il lavoro eseguito dalla predetta forza nello spostare il corpo da O a B. Calcolare poi il lavoro eseguito dalla forza peso e dalla tensione del filo per il medesimo spostamento

Soluzione
La condizione di equilibrio quando il corpo è in B restituisce l'equazione vettoriale:

che può essere proiettata su una coppia di assi rispettivamente tangente e normale alla traiettoria circolare (fig. 1)

L'equazione che ci interessa è la prima:

che fornisce il modulo della forza affinché il corpo sia in equilibrio in B. Per calcolare il lavoro eseguito da tale forza nello spostare il corpo da O a B, dobbiamo tener conto che il modulo di F varia lungo la traiettoria, giacché in ogni punto individuato dall'angolo θ, dovrà aversi