Particella vincolata alla superficie di un paraboloide

mercoledì, Ottobre 27th, 2021

particella, paraboloide,gravità — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Una particella P scorre, per effetto della gravità, all'interno della superficie di un paraboloide avente asse di rotazione verticale z (fig. 1). Usando la distanza r dall'asse z e l'angolo azimut φ come coordinate generalizzate, determinare:

a) la lagrangiana del sistema;
b) il momento generalizzato e la corrispondente hamiltoniana;
c) l'equazione del moto nella coordinata r come funzione del tempo;
d) se dφ/dt =0, mostrare che la particella può eseguire piccole oscillazioni attorno al punto più basso del paraboloide e trovare le frequenze di tali oscillazioni.

Soluzione

In coordinate cilindriche abbiamo P(r,φ,z) e l'equazione del parabolide in tale sistema di coordinate è z=Ar² dove A è una costante positiva.
Quesito a

La lagrangiana è

Tenendo conto dell'equazione del paraboloide, si ha:

Quindi

Quesito b
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Incertezza sulla posizione di una particella la funzione d'onda è un pacchetto d'onde

mercoledì, Maggio 13th, 2020

pacchetto d'onde,posizione,particella,indeterminazione

Continuiamo l'esercizio di ieri.

Per calcolare la deviazione quadratica media Δx, dobbiamo dapprima calcolare i valori medi e sullo stato definito dalla funzione d'onda ψ₀(x), giacché

avendosi

essendo ρ₀(x)=|ψ₀(x)|² la densità di probabilità di trovare la particella in un assegnato intervallo infinitesimo [x,x+dx]. Abbiamo, dunque

che può essere prolungata per continuità in x=±1/a, avendosi ρ₀(±1/a)=0. La funzione ρ₀(x) è manifestamente pari e il suo grafico in [-1/a,1/a] è l'unione di due archi di parabola aventi vertici in (±1/a,0) rispettivamente. Ad occhio vediamo che =0. Più precisamente