Applichiamo all'oscillatore armonico, una forza dipendente dal tempo secondo la legge:
Attenzione: qui F(t) è la forza per unità di massa.
Il secondo principio della dinamica fornisce
che è un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea e a coefficienti costanti. Dalla teoria sappiamo che in tal caso l'integrale generale si ottiene sommando a un integrale particolare x1(t) l'integrale generale dell'equazione omogenea associata:
che può comunque essere messo nella forma:
Un integrale particolare dell'equazione completa può scriversi:
Fig. 2. Ascissa e velocità di un oscillatore armonico unidimensionale in condizioni di idealità.
Definizione L'oscillatore armonico unidimensionale è un sistema meccanico composto da un punto materiale di massa m che può muoversi su un piano orizzontale dove è vincolato a una molla ideale di massa nulla.
Fissiamo un riferimento cartesiano (Ox) con l'asse x contenuto nel piano orizzontale che sia parallelo all'asse della molla e orientato nel verso dell'allungamento di quest'ultima. Se allunghiamo la molla di una quantità x (che per quanto precede è >0), sul punto agisce una forza elastica di richiamo:
dove i è il versore dell'asse x (cfr. fig. 1), mentre k>0 è la costante elastica della molla.
Fig. 1. Forza di richiamo elastica agente sull'oscillatore armonico unidimensionale.
Se il punto materiale rimane in quiete significa che stiamo applicando una forza:
necessaria per allungare la molla della quantità x. Se all'istante t=0 rimuoviamo la forza F' e se non sono presenti forze di attrito o resistenze passive, sul punto materiale agisce la sola forza elastica. In tal caso il secondo principio della dinamica si scrive:
da cui otteniamo l'equazione scalare
ovvero l'equazione differenziale
avendo definito la grandezza:
con le dimensioni dell'inverso di un tempo e che si chiama - per una ragione che apparirà chiara in seguito - pulsazione o frequenza angolare dell'oscillatore. L'evoluzione dinamica dell'oscillatore è dunque governato dal seguente problema di Cauchy:
dove A>0 è l'allungamento iniziale della molla, e v0 la velocità iniziale con cui il punto materiale viene rilasciato dopo che abbiamo allungato la molla. L'equazione differenziale dell'oscillatore armonico è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti, per cui applichiamo il procedimento standard per la ricerca dell'integrale generale. (altro…)
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