Moto unidimensionale di tre masse collegate da due molle

giovedì, Ottobre 14th, 2021

molla,oscillatore armonico,frequenze normali — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Un sistema di tre masse come in fig. 1, con M > m, si muove lungo una retta orizzontale. Si chiede:

a) quali sono le frequenze presenti nel sistema;
b) se la massa di sinistra riceve un impulso P₀ al tempo t=0, determinare il moto della stessa massa come funzione del tempo.

Soluzione
Quesito a
Contando da sinistra, siano x₁,x₂,x₃, gli spostamenti delle tre masse dalla loro posizione di equilibrio. La lagrangiana del sistema è

e le equazioni di Lagrange

per risolvere le quali tentiamo le soluzioni seguenti (i è l'unità immaginaria):

che danno

ovvero un sistema lineare omogeneo. Per soluzioni non banali dobbiamo imporre:

(altro…)

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Sviluppo perturbativo degli zeri della funzione zeta

venerdì, Ottobre 1st, 2021

Oscillatore armonico, zeri della funzione zeta di riemann,teoria delle perturbazioni

Consideriamo il seguente operatore essenzialmente autoaggiunto definito nello spazio di Hilbert L²(R):

dove l'operatore p è rappresentato nella base delle coordinate, da

Come è noto, lo spettro degli autovalori è

Le corrispondenti autofunzioni sono:

dove

sono costanti di normalizzazione, mentre H_n(x) sono i polinomi di Hermite. Consideriamo ora un secondo operatore essenzialmente autoaggiunto V(x) tale che

essendo λ un parametro reale variabile con continuità in [0,1] e che controlla l'effetto del secondo operatore per ciò che riguarda la modulazione dello spettro di H₀. Più precisamente, lo sviluppo in serie di potenze di λ, degli autovalori di H è dato da