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Sviluppo perturbativo degli zeri della funzione zeta

Ottobre 1st, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Consideriamo il seguente operatore essenzialmente autoaggiunto definito nello spazio di Hilbert L²(R):

dove l'operatore p è rappresentato nella base delle coordinate, da

Come è noto, lo spettro degli autovalori è

Le corrispondenti autofunzioni sono:

dove

sono costanti di normalizzazione, mentre H_n(x) sono i polinomi di Hermite. Consideriamo ora un secondo operatore essenzialmente autoaggiunto V(x) tale che

essendo λ un parametro reale variabile con continuità in [0,1] e che controlla l'effetto del secondo operatore per ciò che riguarda la modulazione dello spettro di H₀. Più precisamente, lo sviluppo in serie di potenze di λ, degli autovalori di H è dato da

dove

Cioè

L'effetto del termine perturbativo consiste nel «respingere» i livelli imperturbati:

Ciò premesso, consideriamo la funzione zeta di Riemann con l'usuale notazione

Enumerando gli zeri non banali:

Sfruttando la nota simmetria rispetto all'asse reale:

Per il teorema di Hardy:

Ne seguirebbe lo sviluppo in serie:

Tags: oscillatore armonico, teoria delle perturbazioni, zeri della funzione zeta di riemann

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