Sviluppo perturbativo degli zeri della funzione zeta

Ottobre 1st, 2021 | by Marcello Colozzo |

Oscillatore armonico, zeri della funzione zeta di riemann,teoria delle perturbazioni


Consideriamo il seguente operatore essenzialmente autoaggiunto definito nello spazio di Hilbert L²(R):


dove l'operatore p è rappresentato nella base delle coordinate, da


Come è noto, lo spettro degli autovalori è

Le corrispondenti autofunzioni sono:


dove

sono costanti di normalizzazione, mentre Hn(x) sono i polinomi di Hermite. Consideriamo ora un secondo operatore essenzialmente autoaggiunto V(x) tale che

essendo λ un parametro reale variabile con continuità in [0,1] e che controlla l'effetto del secondo operatore per ciò che riguarda la modulazione dello spettro di H0. Più precisamente, lo sviluppo in serie di potenze di λ, degli autovalori di H è dato da


dove


Cioè


L'effetto del termine perturbativo consiste nel «respingere» i livelli imperturbati:


Ciò premesso, consideriamo la funzione zeta di Riemann con l'usuale notazione


Enumerando gli zeri non banali:

Sfruttando la nota simmetria rispetto all'asse reale:

Per il teorema di Hardy:

Ne seguirebbe lo sviluppo in serie:

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