Moto unidimensionale di tre masse collegate da due molle

Ottobre 14th, 2021 | by Marcello Colozzo |

molla,oscillatore armonico,frequenze normali
Fig. 1



Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Un sistema di tre masse come in fig. 1, con M > m, si muove lungo una retta orizzontale. Si chiede:

a) quali sono le frequenze presenti nel sistema;
b) se la massa di sinistra riceve un impulso P0 al tempo t=0, determinare il moto della stessa massa come funzione del tempo.


Soluzione
Quesito a
Contando da sinistra, siano x1,x2,x3, gli spostamenti delle tre masse dalla loro posizione di equilibrio. La lagrangiana del sistema è


e le equazioni di Lagrange

per risolvere le quali tentiamo le soluzioni seguenti (i è l'unità immaginaria):


che danno


ovvero un sistema lineare omogeneo. Per soluzioni non banali dobbiamo imporre:

Discutiamo


Quindi le frequenze normali sono:


Per ω=ω1


Dalle equazioni di Lagrange

dove a,b sono costanti, che mostrano che le tre masse subiscono una traslazione come un corpo rigido senza oscillazioni. Per ω=ω2


e le altre equazioni forniscono

le cui soluzioni sono:

In questo modo la massa m rimane ferma, mentre le masse M oscillano armonicamente fuori fase una con l'altra. Per ?=?3 in modo del tutto simile, si ricava

Cioè le masse M oscillano con la stessa ampiezza e fase, mentre la massa m oscilla fuori fase e con ampiezza diversa. Il moto del sistema si può quindi riassumere in


dove le costanti sono determinate dalle condizioni iniziali.

Quesito b
Abbiamo le condizioni iniziali


Ne segue

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