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Esercizi di Meccanica Razionale

Trasformata di Laplace (per ingegneri elettronici)

[¯|¯] Ordine del prodotto di infinitesimi

venerdì, Marzo 3rd, 2017

infinitesimi,prodotto di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

Proposizione
Assegnate le funzioni f₁(x),...,f_{n}(x) tali che

infinitesimi,prodotto di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

si ha

infinitesimi,prodotto di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

essendo α l'ordine di infinitesimo di f(x). In altri termini, l'ordine del prodotto di n infinitesimi è pari alla somma degli ordini dei singoli fattori.
Dimostrazione
Abbiamo
infinitesimi,prodotto di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

infinitesimi,prodotto di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

onde l'asserto.
c.d.d.
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[¯|¯] Un corollario inaspettato

giovedì, Marzo 2nd, 2017

infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento — Fig. 1. Le curve in tratteggio sono i grafici di f₁(x)=2(1-cos x) e f₂(x)=xsin x. La curva in blue è il grafico della somma f₁(x)+f₂(x), da cui vediamo che tale funzione è un infinitesimo dello stesso ordine di f₁ e f₂. La curva in rosso, invece, è il grafico della differenza, e vediamo che si tratta di un infinitesimo di ordine superiore a f₁ e f₂..

Si badi che l'ipotesi del teorema precedente richiede

infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

In altri termini gli infinitesimi f₁(x),...,f_n(x) hanno tutti ordine diverso. Ciò implica il seguente corollario:
Corollario
La somma di n infinitesimi dello stesso ordine α è un infinitesimo di ordine non minore di α.
Dimostrazione
Siano f₁(x),...,f_n(x) infinitesimi in x₀, per cui:
infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

dove u(x) è l'infinitesimo di riferimento. Posto
infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

si ha

infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

Ne consegue

infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

onde l'asserto.
c.d.d.
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