[¯|¯] Ordine di un infinitesimo con parametro reale

giovedì, Marzo 9th, 2017

Determinare i valori del parametro reale λ per i quali la funzione
infinitesimi,ordine di un infinitesimo, parametro
è un infinitesimo (in x=0) del primo ordine rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x.
Soluzione

Dobbiamo imporre

D'altra parte
infinitesimi,ordine di un infinitesimo, parametro

Risulta

mentre

Quindi

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[¯|¯] Esponenziali mostruosi

giovedì, Febbraio 9th, 2017

limiti di funzioni esponenziali,infinitesimi,ordine di un infinitesimo, regola di De L'Hospital — **Fig. 1**

Nell'esercizio precedente abbiamo stabilito il seguente risultato:

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata zero su zero, regola di De L'Hospital

Come vedremo più avanti, ciò si esprime dicendo che la funzione e^tan(x)-e^x è per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. In questo numero ci proponiamo di generalizzare il predetto risultato studiando il seguente problema:
Problema
Determinare due funzioni φ(x) e ψ(x) tali che la funzione e^φ(x)-e^ψ(x) sia per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. Cioè

Soluzione
Per semplicità supponiamo che φ(x) e ψ(x) siano infinitesimi per x->0:

per cui

come richiesto. Inoltre, supponiamo che tali funzioni siano derivabili almeno 3 volte in un intorno di x=0, in modo da poter applicare regola di De L'Hospital per un sufficiente numero di volte. Pertanto