La funzione di Airy e il neutrone in caduta libera

martedì, Marzo 16th, 2021

neutrone,gravità, meccanica quantistica,funzione di airy

Se il neutrone fosse un oggetto classico, il problema della caduta libera si risolverebbe al volo. Infatti, orientando un asse x verso l'alto, si ha che il potenziale del campo di gravità è

dove m è la massa del neutrone e g l'accelerazione di gravità. Si noti che abbiamo posto lo zero del potenziale in x=0 (suolo). Applicando il secondo principio della dinamica si perviene all'equazione differenziale del moto:

che assieme alle condizioni iniziali x(0)=x0 e d/dt(x(t))=0 (per t=0) restituisce l'unica soluzione

che ci consente di calcolare l'istante di arrivo al suolo:

Schematizzando il suolo come una superficie infinitamente dura, si ha un urto elastico ed è facile determinare la dinamica del processo a tutti i tempi. Sfortunatamente, il neutrone è un oggetto quantistico per cui non è possibile assegnare una condizione iniziale di quella vista prima giacché violerebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. La Meccanica quantistica ci dice che dobbiamo risolvere lo spettro dell'operatore hamiltoniano:

Dal momento che il suolo è una superficie infinitamente dura, si ha:

Per un assegnato valore E=mgx₀ dell'energia, la regione classicamente accessibile

Ne segue che lo spettro dell'hamiltoniano è puramente discreto. Abbiamo, dunque, solo stati legati. Per determinare lo spettro dobbiamo risolvere l'equazione agli autovalori:

cioè integrare l'equazione differenziale del secondo ordine (equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo)

Con le condizioni al contorno:

È preferibile passare al dominio degli impulsi. Come è noto, ciò equivale ad eseguire la trasformata di Fourier giacché le autofunzioni dell'energia nel predetto dominio sono:

Eseguendo la trasformata di Fourier delle funzioni che compaiono nell'equazione di Schrödinger, otteniamo la medesima equazione scritta nel dominio degli impulsi:

che è del primo ordine e a variabili separabili:

da cui

Segue

(altro…)

Posted in Fisica Teorica, Meccanica Quantistica | No Comments »

Legge di Fick. Sezione trasversale e suo significato

giovedì, Novembre 19th, 2020

legge di flick,sezione trasversale,neutrone

Appunti ed esercizi di Fisica del Reattore nucleare elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Il trasporto e la dispersione dei neutroni si basano fondamentalmente sul seguente bilancio neutronico:

dove n è la densità neutronica e t è il tempo. In uno stato costante e stazionario si ha:

L'equazione fondamentale che esprime il principio di conservazione del numero di neutroni è chiamata equazione di Boltzmann del trasporto, simile a quella che si studia nella diffusione dei gas, e nella quale appaiono: velocità del neutrone =v, raggio vettore di posizione =r, direzione angolare in 4&pi: radianti =Ω.

Come in tutti i fenomeni di diffusione di molecole di gas o di calore, si mostra che la diffusione tende sempre a muoversi da zone ad alta densità a zone di bassa densità. Un comportamento simile si osserva con la diffusione neutronica: ci sono più collisioni per unità di volume in zone ad alta densità, e dopo la collisione i neutroni si allontano dal centro di collisione.

Se consideriamo un flusso neutronico di energia costante ossia di neutroni monoenergetici, possiamo scrivere la legge fondamentale nello studio della diffusione neutronica: la legge di Fick