» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Limiti di successioni. Successioni divergenti

lunedì, Marzo 22nd, 2021

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Definizione
La successione {y_n} è divergente positivamente se

Si scrive

Cioè se {y_n} è definitivamente maggiore di un numero reale positivo assegnato ad arbitrio.

Ad esempio:

Per verificare tale scrittura dobbiamo risolvere la seguente disequazione in n

per un assegnato ε > 0 preso ad arbitrio. Determiniamo le radici dell'equazione di secondo grado

Cioè

Ne segue che la disequazione è verificata per

Dal momento che n è un intero positivo, deve essere

In definitiva, denotando con

il più grande intero maggiore o uguale di x, si ha:

da cui il risultato.
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Esempio di successione convergente

giovedì, Marzo 4th, 2021

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Per provare il risultato di fig. 1, scriviamo:

Cioè

Per n dispari:

Congetturiamo l=1

Quindi

onde l'asserto. In fig. 1 riportiamo il grafico della successione, da cui vediamo che y_{n} tende a 1 per valori minori di 1. Inoltre, la successione non è crescente e la tendenza al limite avviene oscillando. Si noti, infine, che il limite 1 è l'unico punto di accumulazione per il codominio della successione.

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