» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Esponenziali mostruosi

giovedì, Febbraio 9th, 2017

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Nell'esercizio precedente abbiamo stabilito il seguente risultato:

Come vedremo più avanti, ciò si esprime dicendo che la funzione e^tan(x)-e^x è per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. In questo numero ci proponiamo di generalizzare il predetto risultato studiando il seguente problema:
Problema
Determinare due funzioni φ(x) e ψ(x) tali che la funzione e^φ(x)-e^ψ(x) sia per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. Cioè

Soluzione
Per semplicità supponiamo che φ(x) e ψ(x) siano infinitesimi per x->0:

per cui

come richiesto. Inoltre, supponiamo che tali funzioni siano derivabili almeno 3 volte in un intorno di x=0, in modo da poter applicare regola di De L'Hospital per un sufficiente numero di volte. Pertanto

Evidentemente se

si ha

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[¯|¯] Non è poi così sorprendente

mercoledì, Febbraio 8th, 2017

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La soluzione è immediata. Infatti:

per cui tenendo conto del risultato dell'esercizio precedente:

Tuttavia a titolo di esercizio, proviamo a calcolare direttamente il limite. Partendo dal limite fondamentale

si ha che il rapporto si presenta nella forma indeterminata 0/0:

Applichiamo la regola di De L'Hospital

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