Cercasi disperatamente curva inviluppo

domenica, Dicembre 27th, 2020

famiglia di curve piane,inviluppo,curva discriminante — **Fig. 1**

Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane la cui espressione è in fig. 1.

Soluzione
Dopo aver definito la funzione

risolviamo il sistema

La seconda è verificata per x=2. Però sostituendo questo valore nella prima, otteniamo x=0. D'altra parte la seconda è verificata per y=λ. In tal modo la prima diviene

Iniziamo con x=1. Immettendo questo valore nella seconda, otteniamo il luogo geometrico

o meglio, una rappresentazione parametrica della retta verticale x=1. Potrebbe essere l'inviluppo o una curva discriminante. Verifichiamo calcolando il valore assunto dalle derivate parziali di F rispetto alle variabili x,y:

Risulta

Ne segue che Γ è il luogo dei punti singolari delle curve di Φ, i.e. è la curva discriminante per tale famiglia. Applicando il procedimento standard per la classificazione dei punti singolari delle curve piane, scopriamo che il generico punto di Γ è un nodo per la curva corrispondente. Passiamo ora all'altra soluzione x=0. Si trova facilmente la curva soluzione:

cioè l'asse y. Questa volta le derivate rispetto a x,y, non si annullano, per cui il luogo trovato è l'inviluppo, come mostrato in fig. 1.

(altro…)

Posted in Geometria differenziale | No Comments »

Questa famiglia non ha inviluppo

domenica, Dicembre 27th, 2020

famiglia di curve piane,inviluppo,punto base,studio di funzione — **Fig. 1**

Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane:

Soluzione
Osserviamo innanzitutto che la generica curva γ_λ della famiglia assegnata è il grafico della funzione

data dal prodotto della funzione potenza di esponente reale per la funzione esponenziale e^{-x}. Dobbiamo considerare l'intervallo [0,+oo).
Intersezione con gli assi
Dal momento che l'esponente è maggiore di zero, si ha:

Cioè, il grafico passa per l'origine. Più precisamente, "parte" dall'origine.
Segno
Dal momento che la funzione è definita per x > = 0 ed è ivi non negativa, il grafico è contenuto nel primo quadrante.
Comportamento all'infinito
La funzione è manifestamente infinitesima:

Quindi l'asse x è asintoto orizzontale (a destra).
Derivata prima
Calcolando si trova

Riesce

cosicché la funzione è strettamente crescente in (0,λ) e strettamente decrescente in (λ,+oo). Ne segue che x=λ è punto di massimo relativo, anzi assoluto.

Stabiliamo il comportamento della derivata prima in un intorno destro di x=0. A tale scopo calcoliamo:

Ne segue

Cioè il grafico può "partire" da (0,0) con: 1) tangente verticale; 2) tangente orizzontale ; 3) tangente con coefficiente angolare 1, come illustrato in fig.

Derivata seconda
Abbiamo:

Bisogna però tener conto del fatto che la funzione non è definita per x < 0. Infatti, per 0 < &lmbda; < 1 è x1 < 0, per cui deve essere verificata solo x > x2. Vediamo che x2 è un flesso discendente e che il grafico è convesso in (0,x2) e concavo in (x2,+oo), come vediamo in fig.

Studiamo le intersezioni delle curve per differenti valori del parametro.

Cioè le curve della famiglia si interesecano nell'origine e in P0(1,(1/e)). Sono questi i punti base della famiglia. Ciò può essere visto applicando il procedimento standard:

Dobbiamo risolvere il sistema:

La prima implica x=0, mentre la seconda y=e^-1, cioè i punti base. Ne concludiamo che la famiglia assegnata non ammette curva inviluppo. In fig. 1 l'andamento di alcune curve della famiglia, in cui sono visibili i punti base.

(altro…)