Questa famiglia non ha inviluppo

Dicembre 27th, 2020 | by Marcello Colozzo |

famiglia di curve piane,inviluppo,punto base,studio di funzione
Fig. 1


Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane:


Soluzione
Osserviamo innanzitutto che la generica curva γλ della famiglia assegnata è il grafico della funzione


data dal prodotto della funzione potenza di esponente reale per la funzione esponenziale e^{-x}. Dobbiamo considerare l'intervallo [0,+oo).
Intersezione con gli assi
Dal momento che l'esponente è maggiore di zero, si ha:

Cioè, il grafico passa per l'origine. Più precisamente, "parte" dall'origine.
Segno
Dal momento che la funzione è definita per x > = 0 ed è ivi non negativa, il grafico è contenuto nel primo quadrante.
Comportamento all'infinito
La funzione è manifestamente infinitesima:

Quindi l'asse x è asintoto orizzontale (a destra).
Derivata prima
Calcolando si trova

Riesce

cosicché la funzione è strettamente crescente in (0,λ) e strettamente decrescente in (λ,+oo). Ne segue che x=λ è punto di massimo relativo, anzi assoluto.


Stabiliamo il comportamento della derivata prima in un intorno destro di x=0. A tale scopo calcoliamo:


Ne segue


Cioè il grafico può "partire" da (0,0) con: 1) tangente verticale; 2) tangente orizzontale ; 3) tangente con coefficiente angolare 1, come illustrato in fig.

Derivata seconda
Abbiamo:

Bisogna però tener conto del fatto che la funzione non è definita per x < 0. Infatti, per 0 < &lmbda; < 1 è x1 < 0, per cui deve essere verificata solo x > x2. Vediamo che x2 è un flesso discendente e che il grafico è convesso in (0,x2) e concavo in (x2,+oo), come vediamo in fig.


Studiamo le intersezioni delle curve per differenti valori del parametro.


Cioè le curve della famiglia si interesecano nell'origine e in P0(1,(1/e)). Sono questi i punti base della famiglia. Ciò può essere visto applicando il procedimento standard:


Dobbiamo risolvere il sistema:


La prima implica x=0, mentre la seconda y=e^-1, cioè i punti base. Ne concludiamo che la famiglia assegnata non ammette curva inviluppo. In fig. 1 l'andamento di alcune curve della famiglia, in cui sono visibili i punti base.


Exercise

Studying the family of plane curves:


Solution
First of all we observe that the generic curve γλ of the assigned family is the graph of the function


given by the product of the real exponent power function for the exponential function e ^ {- x}. We have to consider the interval [0, + oo).

Intersection with the axes
Since the exponent is greater than zero, we have:


That is, the graph goes through the origin. More precisely, it "starts" from the origin.
Sign
Since the function is defined for x > = 0 and is non-negative there, the graph is contained in the first quadrant.
Behavior to infinity
The function is manifestly infinitesimal:

Hence the x-axis is a horizontal (right) asymptote.
First derivative
By calculating it is found

It succeeds


so that the function is strictly increasing in (0, λ) and strictly decreasing in (λ, + oo). It follows that x =λ it is a point of relative maximum, indeed absolute.


We establish the behavior of the first derivative in a right neighborhood of x = 0. For this purpose we calculate:

It follows


That is, the graph can "start" from (0,0) with: 1) vertical tangent; 2) horizontal tangent; 3) tangent with angular coefficient 1, as illustrated in fig.


Second derivative
We have:


However, it must be taken into account that the function is not defined for x < 0. Indeed, for 0 < &lmbda; < 1 it is x1 < 0, so only x > x2 must be checked. We see that x2 is a descending inflection and that the graph is convex in (0, x2) and concave in (x2, +oo), as we see in fig.

We study the intersections of the curves for different values of the parameter.


That is, the curves of the family intersect in the origin and in P0 (1, (1 / e)). These are the basic points of the family. This can be seen by applying the standard procedure:

We need to solve the system:

The first implies x = 0, while the second y = e?¹, that is the basis points. We conclude that the assigned family does not admit an envelope curve. In fig. fig: multi the trend of some curves of the family, in which the base points are visible.

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