Teorema di integrazione per serie

lunedì, Novembre 8th, 2021

teorema di integrazione per serie, integrazione termine a termine
Fig. 1

Nell'intervallo [a,b] sia data la serie di funzioni Σnfn(x) che assumiamo convergente con somma f(x):


Inoltre, se le funzioni ffn(x) sono continue in [a,b] ha senso per ciascuna di esse l'integrale definito:


Poniamo, dunque, la questione dell'esistenza dell'integrale definito della somma:


e in caso affermativo, se possiamo scrivere


o ciò che è lo stesso

e in tal caso si dice che la serie è integrabile termine a termine. In generale, la risposta a tali quesiti è negativa, come mostra l'esempio della serie scritta in fig. 1, mentre nella seguente figura riportiamo i grafici dei primi 40 termini:


Calcoliamo la somma parziale

Cioè


In fig. 1 riportiamo il grafico delle somme parziali per N=1,...,15.
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