Infiniti | » Esercizi svolti di Matematica e Fisica - Part 2

Home

Appunti di Matematica

Catalogo ebooks di Matematica&Fisica

Esercizi di Meccanica Razionale

Trasformata di Laplace (per ingegneri elettronici)

[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti (parte 2)

mercoledì, Marzo 1st, 2017

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento — Fig. 1

Per gli infiniti si dimostra una proposizione analoga:
Proposizione
Siano f₁(x) e f₂(x) due infiniti equivalenti (per x->x₀).
Se f_k(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che f_h(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.

Esempio
Consideriamo gli infiniti per x->oo:

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Per quanto visto in quest'esempio
infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

onde l'equivalenza degli infiniti assegnati. Determiniamo la parte principale di f₁(x) rispetto all'infinito

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Innanzitutto calcoliamone l'ordine:

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

cosicché f₁(x) è di ordine 1/2 rispetto a g(x), riuscendo
infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Abbiamo pertanto la decomposizione:

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

con

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Ciò implica
infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

[¯|¯] Parte principale di (π/2 - arctanx)^-1/2 (per x->+oo)

mercoledì, Marzo 1st, 2017

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore — Fig. 1. La parte principale dell'infinito f(x)=1/x² è la funzione medesima.

Consideriamo la funzione

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Riesce

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

onde f(x) è un infinito per x->+oo. Ricerchiamone l'ordine assumendo come infinito di riferimento la funzione v(x)=x. Abbiamo
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Eseguiamo il cambio di variabile:

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

da cui

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

onde

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Ciò implica che f(x) è un infinito di ordine 1/2. Inoltre

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Quindi la parte principale è
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Segue

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

che è un infinito di ordine minore di 1/2. Infatti:

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Posted in Analisi Matematica I | No Comments »