[¯|¯] Ordine di una somma di infinitesimi

giovedì, Marzo 2nd, 2017

infinitesimi,somma di infinitesimi,ordine,infinitesimo di riferimento

Proposizione
Siano dati f₁(x), f₂(x),... f_n(x) infinitesimi (in x₀) di ordine differente α₁,α₂,...,α_n rispetto a un infinitesimo di riferimento u(x). La funzione

è un infinitesimo (in x₀0) di ordine

Dimostrazione
La prima parte della proposizione è una conseguenza del teorema sul limite della somma di funzioni:

Segue

giacché

è di ordine maggiore di α_h.
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[¯|¯] Esempio 1 di calcolo dell'ordine di un infinitesimo

venerdì, Febbraio 24th, 2017

infinitesimi,infiniti,infinitesimo di riferimento,infinito di riferimento — **Fig. 2. In un intorno di x=0 la funzione f(x)=1-cos(x) può essere approssimata dalla funzione potenza di esponente reale 2 g(x)=x².**

Per quanto visto nella Lezione 2, esempi immediati di infinitesimi confrontabili sono offerti dai limiti fondamentali:

da cui vediamo che per x->0, l'infinitesimo sin(x) è del primo ordine rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x, mentre l'infinitesimo 1-cos(x) è del secondo ordine. Graficamente ciò equivale a dire che in un intorno di x=0 i diagrammi cartesiani di sin(x) e 1-cos(x) possono essere approssimati rispettivamente dalla retta y=x e dall'arco di parabola y=x², come illustrato nelle figg. 1 e 2.
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