Infinitesimi | » Esercizi svolti di Matematica e Fisica - Part 7

Home

Appunti di Matematica

Catalogo ebooks di Matematica&Fisica

Esercizi di Meccanica Razionale

Trasformata di Laplace (per ingegneri elettronici)

[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti

mercoledì, Marzo 1st, 2017

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento — Fig. 1. Le funzioni f₁(x)=2(1-cosx) e f₂(x)=x² sono infinitesimi equivalenti per x->0. Pertanto hanno la stessa parte principale rispetto all'infinitesimo g(x)=sinx. Geometricamente significa che i rispettivi grafici tendono a sovrapporsi in un intorno di x=0.

Proposizione
Siano f₁(x) e f₂(x) due infinitesimi equivalenti (per x->x₀).
Se f_k(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che f_h(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.
Dimostrazione
Sia

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

cosicché

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Per ipotesi f₁(x) e f₂(x) sono equivalenti:

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Segue

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Pertanto

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

onde l'asserto.
c.d.d.
Esempio
Consideriamo gli infinitesimi in x=0:
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

[¯|¯] Esempio n.3 di calcolo della parte principale di un infinitesimo

lunedì, Febbraio 27th, 2017

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore — Fig. 1

Consideriamo la funzione

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Riesce

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

onde f(x) è un infinitesimo in x=0. Ricerchiamone l'ordine assumendo come infinitesimo di riferimento la funzione u(x)=x:
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Eseguiamo il cambio di variabile t=2x:
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Quindi f(x) è un infinitesimo del quart'ordine. Risulta:

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

per cui la parte principale è

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Posted in Analisi Matematica I | No Comments »