» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Infinitesimi ed infiniti (Lezione 1)

martedì, Febbraio 21st, 2017

---

Sia f una funzione reale di una variabile reale definita in un sottoinsieme X di R:

Se x₀ è un punto di accumulazione per X, sussistono le seguenti definizioni:
Definizione 1
f è un infinitesimo in x₀ (o per x->x₀) se

Definizione 2
f è un infinito in x₀ (o per x->x₀) se

Alcuni esempi di infinitesimi:
Esempio 1
La funzione f(x)=sinx è un infinitesimo negli infiniti punti

Esempio 2
La funzione f(x)=x*sin(1/x) non è definita in x=0, tuttavia:

per cui x*sin(1/x) è un infinitesimo nel predetto punto.

Esempio 3
La funzione f(x)=1/x è un infinitesimo per x->+oo e per x.>-oo, giacché:

Alcuni esempi di infiniti:

Esempio 4
La funzione f(x)=csc x è un infinito negli infiniti punti

Esempio 5
La funzione f(x)=1/x è un infinito in x=0.

Infinitesimi confrontabili. Il concetto di ordine

Se x₀ è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme

che si identifica con la classe degli infinitesimi in x₀ non definitivamente nulli intorno a tale punto.

Ciò premesso, comunque prendiamo due infinitesimi della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:

Si presentano i seguenti casi:

1. Il rapporto è un infinitesimo:
   
   Significa che f(x) tende a zero più rapidamente di g(x). Diremo allora che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x).
2. Il rapporto è un infinito:
   
   Significa che g(x) tende a zero più rapidamente di f(x). Diremo allora che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x).
3. Il rapporto converge a un limite non nullo:
   
   Significa che f(x) e g(x) tendono a zero con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine.
4. Il rapporto è non regolare
   
   Esempio 6
   Siano
   
   infinitesimi della classe I(0). Abbiamo
   
   e tale limite non esiste.
   (altro…)

---

Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

[¯|¯] Esponenziali mostruosi

giovedì, Febbraio 9th, 2017

---

Nell'esercizio precedente abbiamo stabilito il seguente risultato:

Come vedremo più avanti, ciò si esprime dicendo che la funzione e^tan(x)-e^x è per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. In questo numero ci proponiamo di generalizzare il predetto risultato studiando il seguente problema:
Problema
Determinare due funzioni φ(x) e ψ(x) tali che la funzione e^φ(x)-e^ψ(x) sia per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. Cioè

Soluzione
Per semplicità supponiamo che φ(x) e ψ(x) siano infinitesimi per x->0:

per cui

come richiesto. Inoltre, supponiamo che tali funzioni siano derivabili almeno 3 volte in un intorno di x=0, in modo da poter applicare regola di De L'Hospital per un sufficiente numero di volte. Pertanto

Evidentemente se

si ha

(altro…)

---

Posted in Analisi Matematica I, Calcolo di Limiti | No Comments »