Operazioni sui limiti di funzione

venerdì, Febbraio 19th, 2016

Oggi studiamo le operazioni sui limiti di funzioni (reali di una variabile reale). Precisamente, consideriamo due funzioni f1(x) e f2(x), dopodichè studieremo il limite della somma, del prodotto e del rapporto.
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Dimostrazione per assurdo del Teorema di unicità del limite

mercoledì, Febbraio 10th, 2016

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Oltre alla consueta dimostrazione del Teorema di unicità del limite, quest'articolo contiene una routine in Mathematica per generare una istruttiva animazione grafica per la predetta dimostrazione.

In addition to the usual proof of the Theorem on uniqueness of limits, this article contains a routine in Mathematica to generate an instructive graphic animation for the aforementioned demonstration.

Se f è una funzione reale definita in X sottoinsieme del campo reale e x₀ un punto di accumulazione (al finito o all'infinito) per X.
Definizione
Si dice che f è regolare in x0 se è ivi dotata di limite (infinito o infinito). Nel caso contrario, si dice che è f è non regolare in x0.

Nel caso di non regolarità è consuetudine dire, sia pur impropriamente, che in x0 il limite di f non esiste. Per le funzioni regolari, sussiste il teorema di unicità del limite:

Dimostrazione.
Procediamo per assurdo, negando la tesi (senza perdita di generalità supponiamo che x₀ sia di accumulazione al finito e che la funzione sia convergente):