[¯|¯] Immagine di un'applicazione vettoriale

martedì, Febbraio 4th, 2020

Alle funzioni vettoriali, quali applicazioni tra spazi vettoriali, si applicano le definizioni di suriettiva, iniettiva, bi-iettiva. In particolare:
Definizione

Assegnata una funzione vettoriale f:E->F, dicesi immagine di E attraverso f , l'insieme

Tale sottoinsieme di F è anche noto come immagine dell'applicazione f (anziché dello spazio vettoriale E).

Osservazione
Si badi che in generale, f(E) non è un sottospazio vettoriale di F. Come vedremo in seguito ciò si verifica solo per una particolare classe di applicazioni.

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[¯|¯] Funzioni vettoriali di una variabile vettoriale

martedì, Febbraio 4th, 2020

Nelle lezioni precedenti abbiamo introdotto la nozione di rappresentazione parametrica (avente per base un assegnato aperto U di R²) di una superficie S, per poi osservare che quest'ultima è l'immagine di un'applicazione che associa univocamente ad ogni elemento di U, un elemento di S. Ne consegue che la nozione di rappresentazione parametrica "parla" il linguaggio delle funzioni (naturalmente intese come legge di corrispondenza tra due insiemi).
Nello specifico, gli elementi di U sono vettori di un assegnato sottospazio vettoriale dello spazio euclideo bidimensionale (R²) , mentre una qualunque superficie S è un sottoinsieme dello spazio euclideo tridimensionale R³, ma non un suo sottospazio vettoriale. Vediamo, dunque, che nella definizione di rappresentazione parametrica di una superficie, sono coinvolti gli spazi vettoriali (euclidei) R² e R³. Ne consegue che la predetta rappresentazione parametrica altro non è che una legge di corrispondenza tra tali spazi vettoriali. È preferibile comunque, riferirsi a spazi vettoriali (finito-dimensionali) su un qualunque campo K.
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