Serie di Fourier: la strana relazione tra il nucleo di Dirichet e la funzione delta di Dirac

martedì, Aprile 5th, 2016

Alle prese con l'articolo per emcelettronica.com. La convergenza di una serie di Fourier si "gioca" sul nucleo di Dirichlet e sembra che ci sia una qualche relazione con la delta di Dirac.

Supponiamo di avere una funzione periodica f(x) di periodo 2pi, quindi la serie di Fourier associata a f è:

serie di fourier,funzioni periodiche,nucleo di Dirichlet

con i coefficienti di Fourier dati da:

mentre la somma parziale di ordine n è:

e sostituendo in questa equazione l'espressione dei coefficienti, e facendo un sacco di noiosi passaggi si giunge a

In questa formula la funzione Dn che compare nell'integrando, è il famigerato nucleo di Dirichlet, la cui espressione è:

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Limite di una funzione periodica (per x che tende all'infinito). Esempio di funzione non periodica ma non regolare all'infinito

martedì, Febbraio 9th, 2016

funzioni periodiche,limite all'infinito, funzione sinx

Devo aver letto da qualche parte che la continuità di una funzione reale di una variabile reale rappresenta la soglia minima per l'onestà della funzione medesima. Ricordiamo che con tale termine si indica scherzosamente, ma efficacemente, la regolarità di una funzione, intesa come continuità, nonchè esistenza delle derivate (continue) fino ad un certo ordine n (in tal caso si dice che la funzione è di classe C^n sul suo campo di esistenza).

La soglia minima è, invece, rappresentata dalla regolarità intesa come esistenza del limite (finito o infinito). Prendiamo ad esempio, la funzione sin(x) che è onesta, in quanto di classe C^oo sul campo reale R. Ma se vogliamo attenerci alla definizione precedente, siamo costretti ad asserire che tale funzione non è onesta per |x|->+oo. Infatti, è facile convincersi che tale funzione è non regolare all'infinito, come illustrato nel seguente grafico