Funzioni olomorfe. Il caso dell'esponenziale complesso

sabato, Maggio 20th, 2017

formula di eulero

Prima di definire la funzione esponenziale complessa, dimostriamo il seguente risultato

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Assegnata la successione di funzioni complesse:

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il cui termine generale è:
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[¯|¯] Derivazione complessa. Funzioni olomorfe

mercoledì, Maggio 3rd, 2017

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Assegnato un sottoinsieme E di R², consideriamo una funzione da E a C (campo complesso):

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Come è noto, la coppia ordinata di variabili reali (x,y) individua il numero complesso z=x+iy, o ciò che è lo stesso, un punto del piano di Gauss come illustrato in figura:

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La funzione f è una funzione complessa della variabile complessa z. Ciò premesso, consideriamo un campo A (limitato o illimitato) contenuto in E. Assegnato z0 in A, in corrispondenza di un incremento Δz tale che (z0+Δz) appartiene ad A, l'incremento della funzione f è Δf=f(z0+Δz)-f(z0).
Definizione
Si dice
rapporto incrementale complesso di incremento Δz, relativo alla funzione f e al punto z0, il rapporto

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Il rapporto incrementale è una funzione complessa della variabile complessa Δz=Δx+iΔy, il cui insieme ha per punto di accumulazione il punto Δz=0, i.e. (Δx,Δy)=(0,0), per cui ci poniamo il problema dell'esistenza del limite:

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avendo denotato con x0 e y0 rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z0. Se tale limite esiste ed è finito, diremo che f è derivabile in modo complesso nel punto z0, scrivendo:
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che è la derivata complessa di f in z0. Se f risulta derivabile in ogni punto z di A, diremo che f è derivabile in modo complesso A. Resta quindi definita una nuova funzione, ovvero la derivata complessa f'(z) che può, a sua volta ammettere una derivata complessa, cioè la derivata complessa seconda della funzione f(z) e così via per le derivate di ordine superiore.
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