[¯|¯] Secondo teorema integrale di Cauchy

lunedì, Agosto 19th, 2019

funzioni olomorfe, secondo teorema di cauchy — **fig. 1**

Secondo Teorema di Cauchy
Hp: f(z) è una funzione olomorfa nel campo connesso A.

Th:Preso ad arbitrio un dominio regolare D contenuto in A, risulta:

Dim.

Definiamo

che è manifestamente olomorfa in A-{ζ}. Inoltre, l'integrale

ha senso perché la frontiera di D è contenuta in A', che è il campo di olomorfia di g(z), e quindi di continuità di tale funzione. Tuttavia D non è contenuto in A', per cui non possiamo applicare il primo teorema di Cauchy. Allora tracciamo una circonferenza Γ nel dominio D e centrata in ζ, come illustrato in fig. 1. Il raggio di G è

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[¯|¯] Primo teorema di Cauchy. Interpretazione vettoriale dell'olomorfia di una funzione complessa

domenica, Agosto 18th, 2019

funzioni olomorfe, primo teorema di cauchy

Premettiamo che a una funzione complessa f(z) possiamo univocamente associare un campo vettoriale complesso

essendo e₁,e₁ i versori dell'asse reale e dell'asse immaginario, rispettivamente. Se f(x+iy)=f(x,y) è parzialmente derivabile rispetto a x e y, la divergenza del predetto campo vettoriale è