[¯|¯] I primi otto numeri primi mediante gli zeri della funzione zeta di Riemann

domenica, Aprile 30th, 2017

distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

Per scrivere un programma con Mathematica che sia in grado di riprodurre le discontinuità di prima specie della distribuzione π₀(x), utilizziamo innanzitutto un'approssimazione del termine G(x) proposta da Riesel-Göhl.

dopodiché definiamo la "componte continua" della π₀(x)
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dove R(x) è l'approssimazione di Riemann espressa attraverso la serie di Gram troncata a un ordine N (un valore tipico è N=100)
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In figura riportiamo i grafici delle restrizioni delle funzioni π₀(x) e R₀(x) all'intervallo [12,100].

Riprendiamo ora il termine correttivo H(x) iniziando la somma da n=1 giacchè Mathematica enumera con questa modalità gli zeri della zeta di Riemann che sono built-in, onde definiamo dapprima la seguente funzione che restituisce l'n-esimo zero:
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H(x) si presenta nella forma:
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che è mostruosamente complicata pur troncando le serie alle somme parziali
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I parametri liberi della routine sono (N,N₀). Per quanto detto, l'intero naturale non nullo N è il numero di zeri della zeta, mentre N₀ è già stato esaminato nei numeri precedenti dove avevamo posto N₀=154, mentre [SW] utilizza per l'altro parametro il valore N=50 . In parole povere dobbiamo calcolare il contributo proveniente dai primi 50 zeri non banali della zeta di Riemann.
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[¯|¯] La legge di distribuzione dei numeri primi

domenica, Aprile 16th, 2017

legge di distribuzione dei numeri primi, numeri primi,funzione zeta di Riemann,approssimazione di Riemann — **Fig. 1**

La funzione a gradini π(x)

Come è noto, i numeri primi sono elementi di N che ammettono solo divisori banali. Cioè, p è numero primo se e solo se p è divisibile solo per se stesso e per 1. I numeri primi compongono una successione di elementi di N:

dove p_n è l'n-esimo numero primo. Ad esempio, p₁=2,p₂=3,p₃=5,p₆=7,p₇=11,... La successione così definita è un'applicazione iniettiva:
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il cui grafico è

Dall'iniettività segue l'invertibilità di g:

dove g(N-{0}) è l'immagine di N-{0} attraverso g. Ad esempio: g(3)=5=>g^-1(5)=3. Pertanto per un assegnato numero primo p,g^-1 è il numero di primi tra 1 e p, per cui la funzione g^-1 definisce la legge di distribuzione dei numeri primi. È istintivo prolungare g^-1 da g(N-{0}) a tutto N. Ridifinendo: