Spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale

venerdì, Maggio 21st, 2021

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Dal momento che quest'ultimo può essere considerato come spazio vettoriale su K medesimo, fissiamo l'attenzione su Hom(V,K) i cui elementi sono gli omomorfismi da V a K:

che si chiamano funzionali lineari Come è noto, introducendo le leggi di composizione (addizione di vettori, moltiplicazione di uno scalare per un vettore):

e relativi assiomi, Hom(V,K) assume la struttura di spazio vettoriale su K.
Definizione
Lo spazio vettoriale Hom(V,K) si dice spazio duale e si indica con V^*

Come sappiamo

Cioè V e V^* sono isodimensionali, e per un noto teorema segue che sono isomorfi. Inoltre, se {e_i} è una base di V:

Introduciamo n funzionali lineari così definiti:

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[¯|¯] Esempi di funzionali lineari

domenica, Marzo 3rd, 2019

spazio vettoriale,funzionale lineare,spazio duale — .

Esempio 1

Supponiamo che V sia lo spazio vettoriale R² sul campo reale R. Assegnata la base canonica

consideriamo l'applicazione φ che ad ogni elemento ξ di R² associa la somma delle componenti ξ₁ e ξ₂ di ξ. Precisamente, sviluppando ξ nei vettori di base: