[¯|¯] Esempi di funzionali lineari

Marzo 3rd, 2019 | by Marcello Colozzo |

spazio vettoriale,funzionale lineare,spazio duale — .

Esempio 1

Supponiamo che V sia lo spazio vettoriale R² sul campo reale R. Assegnata la base canonica

consideriamo l'applicazione φ che ad ogni elemento ξ di R² associa la somma delle componenti ξ₁ e ξ₂ di ξ. Precisamente, sviluppando ξ nei vettori di base:

si ha

Tale applicazione è manifestamente lineare, per cui è un funzionale lineare:

Dalla linearità di φ segue

che confrontata con la formula scritta più sopra:

(ci si poteva arrivare applicando f ai vettori di base). Quindi la matrice rappresentativa del funzionale lineare φ nella base canonica, è

mentre

Segue

Esempio 2
Supponiamo che V sia lo spazio vettoriale dei polinomi in t (su R) di grado < = n. Come è noto, dimV=n+1, mentre la base canonica è

dove

onde le componenti nella base canonica del polinomio

sono i coefficienti del polinomio medesimo:

In rappresentazione matriciale

Ciò premesso, consideriamo l'applicazione

Per proprietà note dell'integrale definito:

Cioè la predetta applicazione è un funzionale lineare.

Esempio 3
Supponiamo che V=M_K(n) cioè lo spazio delle matrici quadrate di ordine n sul campo K. Consideriamo l'applicazione "traccia":

cioè l'applicazione che a ogni matrice quadrata di ordine n su K, associa la sua traccia:

È facile persuadersi che la traccia verifica la seguente proprietà:

Cioè l'applicazione traccia è lineare, per cui è un funzionale lineare.

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