» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Ascissa curvilinea su una curva regolare orientata. Elemento d'arco. Rappresentazione naturale di una curva

sabato, Novembre 12th, 2016

Nello spazio euclideo R³ consideriamo una curva regolare γ di rappresentazione parametrica:

Su γ fissiamo un punto O(x0,y0,z0) con

e un verso positivo, per cui γ è una curva regolare orientata.
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[¯|¯] Il cammino di integrazione è un arco di elica cilindrica (integrale curvilineo)

venerdì, Novembre 11th, 2016

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Esercizio
Calcolare l'integrale curvilineo:

dove il cammino di integrazione è l'arco di elica cilindrica

di estremi P(R,0,0) e Q(-R,0,k*π) (cfr fig. 1)

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Soluzione
È facile persuadersi che gli estremi P e Q del cammino di integrazione corrispondono rispettivamente ai valori t=0 e t=π del parametro, per cui la rappresentazione parametrica va completata in

Calcoliamo innanzitutto la funzione:

Le derivate delle funzioni x(t),y(t) e z(t) sono

onde
Quindi

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