» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

La pandemia da covid -19 quale soluzione di un sistema di equazioni differenziali di cui una stocastica

venerdì, Maggio 8th, 2020

Queste considerazioni suggeriscono un approccio del tipo:

dove la funzione y(t) modellizza una qualche pandemia normalizzata, nel senso che il valore di Plateau è posto pari a 1. Il coefficiente r > 0 è il tasso di contagio, mentre la grandezza s(t) denota l'azione di smorzamento/contenimento i.e. un qualunque lockdown o una terapia medica. La novità di questo modello è che s non è un parametro, bensì una soluzione di un'equazione differenziale stocastica. Precisamente la seconda, ove w denota un white noise. Quest'ultimo è facilmente implementabile nell'ambiente di calcolo Mathematica, per cui possiamo provare ad integrare il predetto sistema assumendo r=1.5, mentre le condizioni iniziali del corrispondente problema di Cauchy sono

Si ricordi che y(t) è una popolazione normalizzata, quindi non deve sorprendere il valore iniziale assegnato. Integrando numericamente il sistema, otteniamo gli andamenti plottati in figura:

(altro…)

---

Posted in Teoria dei sistemi dinamici | No Comments »

[¯|¯] Crescita esponenziale con costante di tempo rumorosa

lunedì, Maggio 28th, 2018

Consideriamo una grandezza y variabile nel tempo, data dalla soluzione del problema di Cauchy:

Risolvendo

ove τ=α^-1 è la costante di tempo, ovvero un intervallo di tempo caratteristico per quella data y(t). Abbiamo, quindi, il classico andamento esponenziale. Se invece α non è una costante ma una variabile aleatoria, si ha che

diviene un'equazione differenziale stocastica che, tuttavia, può essere integrata con Mathematica a patto di specificare la corrispondente legge di distribuzione statistica. Riferiamoci, in particolare a una distribuzione gaussiana. In Mathematica definiamo la funzione:

Quindi una lista:

Interpoliamo

(altro…)

---

Posted in Mathematica | No Comments »