» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Von Neumann e l'equazione di Schrödinger

In questo paragrafo Von Neumann introduce l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo in modalità euristica, citando il capitolo in cui la predetta equazione viene "tirata fuori" in maniera più rigorosa (dopo aver introdotto la nozione di spazio di Hilbert). Un'altra cosa che dà per scontata (ma che comunque promette di dimostrare successivamente) è l'esistenza di un sistema completo ed ortogonale, di autofunzioni dell'operatore differenziale hamiltoniano. Nella trattazione contenuta nel file allegato (vedi più sotto), ho aggiunto "molto di mio", come ad esempio la rinuncia ad impostare un problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger, in quanto si tratta di un'equazione differenziale alle derivate parziali, per cui il predetto problema è tutt'altro che maneggevole.
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[¯|¯] Il mistero delle "soluzioni fantasma" dell'equazione di Schrödinger

Sintesi dei risultati dell'handbook Introduzione al formalismo matematico della Meccanica quantistica

Una serie di dati empirici che hanno determinato la crisi della Fisica classica, è rappresentata dall'esistenza di una classe di sistemi meccanici per i quali l'evoluzione dinamica dello stato (q,dq/dt) ove q denota il vettore delle coordinate generalizzate, non è deterministica. Per tali sistemi si rinuncia a una descrizione in termini delle predette variabili, recuperando il determinismo fisico attraverso una grandezza vibrante complessa ψ(q,t) (i.e. funzione d'onda) soluzione dell'equazione d'onda di Schrödinger che in forma operatoriale dà luogo al seguente problema di Cauchy:

dove ψ è ora interpretabile come un vettore non nullo di un appropriato spazio di Hilbert, mentre H è un endomorfismo autoaggiunto del predetto spazio, che caratterizza e specifica univocamente il sistema meccanico assegnato. Per il teorema di esistenza ed unicità segue che tale problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione. Ne consegue che l'evoluzione dinamica del vettore ψ è univocamente determinata dal suo valore inziale ψ₀ e dall'operatore lineare H. Abbiamo poi visto che tale soluzione può essere scritta come:

che è un operatore unitario, per cui l'evoluzione temporale di un tale sistema è una trasformazione unitaria dello spazio di Hilbert associato al sistema medesimo. Il significato fisico della grandezza ψ è inglobato in una identità funzionale che nel caso di un sistema composto da una sola particella il cui numero di gradi di libertà è pari a 1, si scrive:

dove ρ(x,t) è la densità di probabilità di trovare la particella al tempo t in un intorno infinitesimo di x.
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