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Esperimenti computazionali con Mathematica: la trasformata di Fourier di f(t)=t+2pi*sin(w0*t)

Rilasciata la prima versione dell'handbook Esperimenti computazionali con Mathematica: la trasformata di Fourier di f(t)=t+2*pi*sin(w0*t).

Argomenti:

1. Comportamento all'infinito della funzione f(x)=x+2pi*sin(x)
   In questa sezione mostriamo che la funzione f(x) pur contenente il termine periodico sin(x) è regolare all'infinito (nel senso che è ivi dotata di limite). Più precisamente, diverge positivamente per x->+oo e negativamente per x->-oo

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Un esempio di calcolo di Trasformata di Fourier

Proponiamo un semplice esempio in modo da capire i concetti fondamentali, che ci darà tra l'altro, la possibilità di calcolare la trasformata di Fourier a mano, cioè senza eseguire calcoli mostruosi. Supponiamo di avere una grandezza y variabile in funzione del tempo t, secondo la legge:

il cui grafico è:

La grandezza f(t) non è periodica, ma è tuttavia esprimibile attraverso uno sviluppo in integrale di Fourier:

da cui vediamo che f(t) si esprime come una sovrapposizione lineare di infiniti termini monocromatici (o armonici o componenti di Fourier) di frequenza w variabile da -oo a +oo. La funzione g(w) è continua in (-oo,+oo) ed è tale che g(w)dw è l'ampiezza delle componenti di Fourier la cui frequenza è compresa tra w e w+dw. Ne consegue che la funzione g(w) è la densità spettrale nota anche come trasformata di Fourier della f(t).

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