Esistono infinite rappresentazioni naturali di una medesima curva regolare

mercoledì, Dicembre 16th, 2020

curva regolare, parametrizzazione naturale,rappresentazione naturale — **Fig. 1**

La nozione di rappresentazione naturale di una curva piana si generalizza immediatamente alle curve in R³. Nello specifico faremo uso delle nozioni acquisite in questa lezione per dimostrare un interessante teorema secondo cui esistono infinite rappresentazioni naturali di una medesima curva, contrariamente a quanto suggerito dalla nostra intuizione.

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Curva regolare quale classe di equivalenza

mercoledì, Dicembre 16th, 2020

curva regolare, classe di equivalenza,riparametrizzazione — **Fig. 1**

Approfondiamo le argomentazioni di una precedente lezione. Spesso si confonde una curva regolare con la sua rappresentazione parametrica. In realtà, una curva è una classe di equivalenza nell'insieme di tutte le rappresentazioni parametriche regolari (in uno spazio euclideo assegnato). In termini rozzi ma efficaci, una curva regolare è l'elemento che accomuna un insieme di rappresentazioni parametriche regolari. Il passaggio da una rappresentazione all'altra è realizzata da una riparametrizzazione che noi denominiamo sostituzione di parametro ammissibile. Si pensi ad esempio, alla traiettoria percorsa da una particella nello spazio fisico R^3. È chiaro che tale traiettoria può essere percorsa in infiniti modi possibili a seconda della velocità della particella. Le infiniti equazioni orarie sono rappresentazioni parametriche regolari. Al contrario, la traiettoria è unica ed è in un certo senso, il "sostegno" delle predette rappresentazioni parametriche.
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