» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Criterio di convergenza di Kummer e suo corollario

È un criterio di convergenza assoluta.
Dimostrazione

Proviamo la prima implicazione. Dall'ipotesi segue

ove l'ultima implicazione si verifica immediatamente dal calcolo diretto della somma parziale di ordine N:

Inoltre:

da cui la convergenza di

in virtù del criterio di confronto. Passiamo alla seconda implicazione. Abbiamo

Ne segue

Ma per ipotesi la serie

è divergente, da cui l'asserto in virtù del predetto criterio di confronto.

Notiamo che per p_n=n ritroviamo il criterio di Raabe. Segue il corollario di cui omettiamo la dimostrazione:

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