[¯|¯] Dato un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi, determinare la corrispondenza tra gli insiemi

martedì, Luglio 3rd, 2018

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano
Fig. 1


Esercizio
Assegnati gli insiemi S={1,2,3} e S'={4,5,6,7}, determinare la corrispondenza da S verso S', il cui grafico è il seguente sottoinsieme di S×S':
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

rappresentato in fig. 1.

Soluzione
Per la proposizione dimostrata in questa lezione, F è il grafico della corrispondenza

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

data da
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

essendo π1 e π2 rispettivamente prima e seconda proiezione del prodotto cartesiano S×S':

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano









Per x=1
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

Per x=2

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

Per x=3
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

Ne concludiamo che il sottoinsieme assegnato è il grafico della seguente corrispondenza da {1,2,3} verso {4,5,6,7}:

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

così definita:

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano



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[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica

giovedì, Giugno 21st, 2018

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

Posto
relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

scriviamo

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

che si legge "x è in relazione con x'".









Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

ove

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

Definizione
Chiamiamo ρ-1 relazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.

Dimostrazione

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.

  1. Proprietà riflessiva
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
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  2. Proprietà simmetrica
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
    relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

  3. Proprietà antisimmetrica
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
    relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

  4. Proprietà transitiva
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se
    relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa


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