Esercizio Assegnati gli insiemi S={1,2,3} e S'={4,5,6,7}, determinare la corrispondenza da S verso S', il cui grafico è il seguente sottoinsieme di S×S':
rappresentato in fig. 1.
Soluzione
Per la proposizione dimostrata in questa lezione, F è il grafico della corrispondenza
data da
essendo π1 e π2 rispettivamente prima e seconda proiezione del prodotto cartesiano S×S':
Per x=1
Per x=2
Per x=3
Ne concludiamo che il sottoinsieme assegnato è il grafico della seguente corrispondenza da {1,2,3} verso {4,5,6,7}:
così definita:
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In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.
Definizione Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:
Posto
scriviamo
che si legge "x è in relazione con x'".
Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa
ove
Definizione Chiamiamo ρ-1relazione inversa
Proposizione Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.
Dimostrazione
Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.
Proprietà riflessiva
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
Proprietà simmetrica
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
Proprietà antisimmetrica
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
Proprietà transitiva
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se