[¯|¯] Dato un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi, determinare la corrispondenza tra gli insiemi

martedì, Luglio 3rd, 2018

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano — **Fig. 1**

Esercizio
Assegnati gli insiemi S={1,2,3} e S'={4,5,6,7}, determinare la corrispondenza da S verso S', il cui grafico è il seguente sottoinsieme di S×S':

rappresentato in fig. 1.

Soluzione
Per la proposizione dimostrata in questa lezione, F è il grafico della corrispondenza

data da

essendo π₁ e π₂ rispettivamente prima e seconda proiezione del prodotto cartesiano S×S':

Per x=1

Per x=2

Per x=3

Ne concludiamo che il sottoinsieme assegnato è il grafico della seguente corrispondenza da {1,2,3} verso {4,5,6,7}:

così definita:

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Indice degli esercizi

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[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica

giovedì, Giugno 21st, 2018

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:

Posto

scriviamo

che si legge "x è in relazione con x'".

Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa

ove

Definizione
Chiamiamo ρ^-1 relazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.

Dimostrazione

Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.

Proprietà riflessiva
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
Proprietà simmetrica
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
Proprietà antisimmetrica
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
Proprietà transitiva
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se