Serie derivabile termine a termine, pur non essendo uniformemente convergente la serie delle derivate

mercoledì, Novembre 10th, 2021

Poniamo

e quindi la somma parziale di ordine N:

Cioè la serie converge e ha per somma la funzione

Dopo qualche calcolo determiniamo le derivate dei singoli termini

Cioè, la serie delle derivate è quella dell'esercizio precedente che sappiamo essere non uniformemente convergente. Tuttavia

che è la somma della predetta serie. Ne concludiamo che la serie assegnata è derivabile termine a termine.
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mercoledì, Novembre 3rd, 2021

Fino a questo momento abbiamo considerato serie numeriche; precisamente, a una successione di elementi di R:

possiamo associare la serie numerica

Nulla ci impedisce di generalizzare tale nozione alle funzioni. A tale scopo, consideriamo una successione di funzioni reali della variabile reale x:

definite in un assegnato insieme X (sottoinsieme di R). A tale successione possiamo associare la serie di funzioni

Definizione
La serie di funzioni (v. eq. sopra) è convergente nell'insieme X se comunque prendiamo x₀ in X, è convergente la serie numerica

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