Somma di infiniti segmenti (serie geometrica)

lunedì, Ottobre 11th, 2021

convergenza di una serie,somma di infiniti segmenti
Fig. 1


Siano r ed s due rette complanari e non parallele. Denotando con O il punto di intersezione (fig. 1), chiamiamo α l'angolo acuto tra le predette rette (escludiamo pertanto, il caso di perpendicolarità).
Assegnato unu punto P0 di r distinto da O, indichiamo con P1 il piede della perpendicolare abbassata da P0 su s, e con P2 il piede della perpendicolare abbassata da P1 su r. L'iterazione di tale procedimento genera una successione di punti:


tale che


Si determini la somma delle lunghezze dei segmenti:


supponendo nota la lunghezza del segmento iniziale OP0.


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Verifica su un risultato (convergenza di una serie)

domenica, Ottobre 10th, 2021

convergenza di una serie,somma parziale di ordine n,ridotta n-esima


Esercizio tratto dal Gizzetti. La soluzione è nostra.



Soluzione

Dobbiamo cercare di rendere maneggevole la somma parziale:


A tale scopo operiamo con le formule trigonometriche


Osservando che

e tenendo conto dell'eq. scritta sopra, si ha:


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