[Calcolo tensoriale] Contrazione

martedì, Marzo 10th, 2020

Spesso i tensori vengono definiti attraverso il Criterio di tensorialità, vale a dire mediante una legge di trasformazione quando si passa da una base all'altra. Tale definizione non ha però un carattere intrinseco, per cui è preferibile definirli come applicazioni multilineari. Tuttavia, in molte operazioni è più facile riferirsi esclusivamente alle componenti in una base assegnata. Iniziamo a definire

Definizione
Dicesi operazione di contrazione la saturazione di un indice covariante e di un indice controvariante.

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[¯|¯] Contrazione dei Simboli di Christoffel

giovedì, Luglio 18th, 2019

Nelle applicazioni capita sovente il calcolo di Γ_να^β, ovvero di eseguire la contrazione sugli indici α e ß dell'oggetto

A tale scopo consideriamo il determinante della matrice i cui elementi sono le componenti del tensore metrico:

Dalla teoria delle matrici

ove Δ^µν è il complemento algebrico dell'elemento g_µν, i.e. il determinante ottenuto cancellando la riga µ-esima e la colonna ν-esima, preso con il segno positivo se il predetto elemento è di posto pari cioè se µ+ν è pari. Viceversa nel caso contrario. Dal momento che Δ^µν non contiene l'elemento g_µν, dall'equazione scritta più sopra che definisce lo sviluppo del determinante si ha: