[¯|¯] Composizione di applicazioni. Applicazione prodotto. Proprietà associativa del prodotto di applicazioni

sabato, Giugno 9th, 2018

Definizione
Date le applicazioni:

è univocamente determinata l'applicazione:

che si chiama applicazione prodotto e si indica con

Una denominazione alternativa è applicazione composta, di cui f è la "componente interna", e g e "componente interna".

Proposizione (Proprietà associativa del prodotto di applicazioni)
Assegnate le applicazioni:

si ha:

Dimostrazione

Posto

si ha

Quindi

Poi poniamo

per cui

Segue

Ciò implica

onde l'asserto.

Proposizione

dove e_S denota l'applicazione identica in S, mentre e_S' è l'applicazione identica in S'.

Dimostrazione

Per definizione di applicazione identica

In maniera analoga si dimostra la seconda.

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[¯|¯] Non commutività del prodotto di applicazioni

sabato, Ottobre 4th, 2014

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Esercizio
Assegnate le applicazioni:

$\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow x-1,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$

$\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y\longrightarrow y^{2},\,\,\,\,\forall y\in\mathbb{R}}{g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}},$