[¯|¯] Non commutività del prodotto di applicazioni

Ottobre 4th, 2014 | by extrabyte |
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Esercizio
Assegnate le applicazioni:

\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow x-1,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}


\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y\longrightarrow y^{2},\,\,\,\,\forall y\in\mathbb{R}}{g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}},


determinare (se è possibile) le applicazioni composte g\circ f e f\circ g.


Svolgimento.

Nel formalismo della Lezione 15 si ha:

A=\left\{  x\in\mathbb{R}\mid f\left(  x\right)  \in\mathbb{R}\right\}<br />
=\mathbb{R},


per cui:
funzioni composte

Cioè:
\begin{equation}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left( x-1\right) ^{2}%
\label{eq: gof}%
\end{equation}
Passiamo alla funzione composta f\circ g. A tale scopo osserviamo che:

B=\left\{  y\in\mathbb{R}\mid g\left(  y\right)  \in\mathbb{R}\right\}=\mathbb{R},


per cui:

f\circ g:y\in\mathbb{R}\rightarrow f\left(  g\left(  y\right)  \right)\in\mathbb{R},\,\,\,\,\forall y\in\mathbb{R},


avendosi:

\left(  f\circ g\right)  \left(  y\right)  =f\left(  g\left(  y\right)\right)  =f\left(  y^{2}\right)


A questo punto osserviamo che la variabile indipendente \`{e} una variabile muta, e come tale possiamo indicarla con un qualunque simbolo:

f\left(  y^{2}\right)  \equiv f\left(  x^{2}\right)  =x^{2}-1



Perciò:
\begin{equation}
\left( f\circ g\right) \left( x\right) =x^{2}-1,\label{eq}%
\end{equation}
che confrontata con la (\ref{eq: gof}) porge:

f\circ g\not =g\circ f

Ne concludiamo che il prodotto di applicazioni non verifica la proprietà commutativa

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