Teorema di Simson

domenica, Ottobre 24th, 2021

Teorema di Simson,circonferenza,triangolo,punti allineati
Fig. 1

Esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Dimostrare che i piedi delle perpendicolari tracciate da un punto qualunque P di una circonferenza ai lati o prolungamenti, di un triangolo inscritto alla circonferenza sono allineati.

Soluzione

Da un punto P della circonferenza che inscrive il triangolo ABC, si traccino le perpendicolari PX,PY,PZ rispettivamente ai lati BC,AC,AB. Poichè l'angolo PYA è supplementare all'angolo PZA, il quadrilatero PZAY è ciclico. Si veda la fig. 1.
Tracciare i segmenti PA, PB, PC. Con ovvio significato dei simboli:

Analogamente, poiché l'angolo PYC è supplmentare all'angolo PXC, il quadrilatero PXCY è ciclico, dunque:

Comunque il quadrilatero PACB è pure ciclico perchè presente nell'ipotesi del teorema - il triangolo inscritto nella circonferenza e P un punto della stessa - e dunque:


(altro…)



Posted in Geometria | No Comments »

[¯|¯] Integrale curvilineo lungo un arco di evolvente di una circonferenza

martedì, Dicembre 6th, 2016

integrale curvilineo,evolvente,circonferenza

Fig.1

Esercizio
Calcolare l'integrale curvilineo:

integrale curvilineo,evolvente,circonferenza

dove il cammino di integrazione è parametricamente rappresentato da
integrale curvilineo,evolvente,circonferenza

da cui vediamo che è l'evolvente della circonferenza di centro (0,0) e raggio R. (cfr. fig.1)

Soluzione
Abbiamo

integrale curvilineo,evolvente,circonferenza

Al solito, calcoliamo la funzione H(t) (che Mathematica chiama ArcLenghtFactor):

integrale curvilineo,evolvente,circonferenza

calcolando prima le derivate delle funzioni x(t)e y(t), ottenendo infine:

integrale curvilineo,evolvente,circonferenza

(altro…)



Posted in Analisi Matematica II | No Comments »