[¯|¯] Integrale curvilineo su un arco di cicloide

mercoledì, Dicembre 7th, 2016

integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide — **fig.1**

Esercizio
Scrivere l'espressione generale dell'integrale curvilineo:

dove il cammino di integrazione è il primo arco di cicloide:
integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

mentre f(x,y) è un qualunque elemento di C¹(A), essendo A un campo di R² contenente γ. Calcolarne poi il valore numerico per f(x,y)=y².

Soluzione
Le equazioni parametriche date descrivono il primo arco di parabola per t tra 0 e 2 pi. Calcoliamo le derivate delle funzioni x(t),y(t):

ottenendo per la funzione H(t):

Osserviamo che
integrale curvilineo,cammino di integrazione,cicloide

essendo O e P gli estremi del cammino di integrazione.
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[¯|¯] Un esempio di Problema di Cauchy

domenica, Luglio 27th, 2014

In questo post proponiamo (e risolviamo) un problema di Cauchy alquanto rognoso. L'equazione differenziale è del primo ordine a variabili separabili. Quindi, l'integrazione è immediata ma non troppo, nel senso che c'è un integrale non molto semplice. Ma la complicazione sta nel fatto che l'integrale generale si ottiene in forma implicita. Però, è possibile metterlo in forma parametrica, ottenendo una famiglia di cicloidi a un parametro. Si applica poi il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del problema di Cauchy assegnato. L'esistenza è garantita dalla continuità della funzione f(x,y) che compare a secondo membro dell'equazione. Ma la derivata parziale rispetto a y non è continua in tutto il campo di esistenza della f (come richiesto dal teorema medesimo), il che implica che potrebbero esserci soluzioni multiple. In sostanza, il problema proposto è compatibile e indeterminato. Smanettando con le formule ci accorgiamo che le per ogni punto P(x0,u0) con un appropriata ordinata u0 (tale che P non appartenga al vertice della cicloide) passano due cicloidi simmetriche rispetto alla retta verticale x=x0. Quindi, il problema proposto ammette 2 soluzioni. Se, invece, P appartiene al vertice, segue che le soluzioni sono ancora 2: la prima è rappresentata da una cicloide, la seconda è una soluzione costante rappresentata dalla retta tangente alla cicloide nel vertice.

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