[¯|¯] Un esempio di Problema di Cauchy

Luglio 27th, 2014 | by extrabyte |

In questo post proponiamo (e risolviamo) un problema di Cauchy alquanto rognoso. L'equazione differenziale è del primo ordine a variabili separabili. Quindi, l'integrazione è immediata ma non troppo, nel senso che c'è un integrale non molto semplice. Ma la complicazione sta nel fatto che l'integrale generale si ottiene in forma implicita. Però, è possibile metterlo in forma parametrica, ottenendo una famiglia di cicloidi a un parametro. Si applica poi il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del problema di Cauchy assegnato. L'esistenza è garantita dalla continuità della funzione f(x,y) che compare a secondo membro dell'equazione. Ma la derivata parziale rispetto a y non è continua in tutto il campo di esistenza della f (come richiesto dal teorema medesimo), il che implica che potrebbero esserci soluzioni multiple. In sostanza, il problema proposto è compatibile e indeterminato. Smanettando con le formule ci accorgiamo che le per ogni punto P(x0,u0) con un appropriata ordinata u0 (tale che P non appartenga al vertice della cicloide) passano due cicloidi simmetriche rispetto alla retta verticale x=x0. Quindi, il problema proposto ammette 2 soluzioni. Se, invece, P appartiene al vertice, segue che le soluzioni sono ancora 2: la prima è rappresentata da una cicloide, la seconda è una soluzione costante rappresentata dalla retta tangente alla cicloide nel vertice.

Smanettando con le formule ci accorgiamo che le per ogni punto P(x0,u0) con un appropriata ordinata u0 (tale che P non appartenga al vertice della cicloide) passano due cicloidi simmetriche rispetto alla retta verticale x=x0.
Quindi, il problema proposto ammette 2 soluzioni. Se, invece, P appartiene al vertice, segue che le soluzioni sono ancora 2: la prima è rappresentata da una cicloide, la seconda è una soluzione costante rappresentata dalla retta tangente alla cicloide nel vertice.