Evoluta dell'ellisse

lunedì, Dicembre 28th, 2020

evoluta,ellisse,centro di curvatura
Fig. 1

Esercizio

Assegnata l'ellisse:


Determinare: 1) le coordinate cartesiane del centro di curvatura e il raggio di curvatura in un generico punto dell'ellisse. 2) L'equazione dell'evoluta.


Soluzione
Abbiamo dimostrato in precedenza che la curvatura è


Ricordiamo che la notazione puntata denota la derivazione rispetto al parametro t. Il raggio di curvatura è

Nel caso di una curva piana

Ne segue

Per quanto riguarda le coordinate cartesiane del centro di curvatura, avevamo detto che

dove nx, ny sono le componenti cartesiane del versore curvatura

dove l'apice denota la derivazione rispetto al parametro naturale s. Passando da una rappresentazione all'altra, si trova:

Nel nostro caso è

Segue

mentre

Per rispondere al secondo quesito, basta applicare la definizione di evoluta di una curva piana (luogo dei centri di curvatura), per cui


che è tracciata in fig. 1 ove abbiamo considerato a > b*sqrt(2).
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