[¯|¯] Campi irrotazionali. Integrazione di forme differenziali lineari

lunedì, Novembre 11th, 2019

campo irrotazionale,forme differenziali lineari,differenziale esatto — **Fig. 1**

Nell'articolo odierno apportiamo alcune correzioni di un post precedente. In particolare, ci riferiamo a una importante proprietà dei cosiddetti campi vettoriali irrotazionali, che si riferisce all'integrazione della corrispondente forma differenziale lineare. L'irrotazionalità esprime una condizione necessaria ma non sufficiente per la predetta integrazione. Come è noto, una condizione sufficiente riguarda la topologia dell'insieme di definizione delle componenti cartesiane del campo vettoriale.
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[¯|¯] Teoria del potenziale. Il caso dell'oscillatore armonico tridimensionale

domenica, Agosto 4th, 2019

teoria del potenziale,campo irrotazionale,oscillatore armonico tridimensionale

Riprendiamo la questione dell'integrabilità di una forma differenziale lineare. Nello specifico, sia dato un campo vettoriale u(x,y,z) definito in una regione D a connessione lineare semplice. In tal caso, l'irrotazionalità del campo è condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un potenziale:

equivalente a

Notiamo una analogia con il caso unidimensionale. Precisamente, data una funzione di classe C¹ su R,

che definisce l'esistenza di (infinite) primitive della f(x). In altre parole, nel caso unidimensionale, la sola continuità della funzione garantisce l'integrabilità. Per quanto precede, quest'ultima può venir meno nel caso n-dimensionale: