[¯|¯] Teoria del potenziale. Il caso dell'oscillatore armonico tridimensionale

Agosto 4th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Riprendiamo la questione dell'integrabilità di una forma differenziale lineare. Nello specifico, sia dato un campo vettoriale u(x,y,z) definito in una regione D a connessione lineare semplice. In tal caso, l'irrotazionalità del campo è condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un potenziale:

equivalente a

Notiamo una analogia con il caso unidimensionale. Precisamente, data una funzione di classe C¹ su R,

che definisce l'esistenza di (infinite) primitive della f(x). In altre parole, nel caso unidimensionale, la sola continuità della funzione garantisce l'integrabilità. Per quanto precede, quest'ultima può venir meno nel caso n-dimensionale:

per cui dobbiamo richiedere l'irrotazionalità del campo vettoriale assegnato. Di solito, il potenziale scalare si calcola per quadrature, come possiamo vedere dal seguente esercizio.
Risulta manifestamente

dove

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