» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Funzione composta definita nell'insieme vuoto

giovedì, Ottobre 9th, 2014

Esercizio

Assegnate le funzioni:

Determinare la funzione composta

Svolgimento
Il campo di esistenza della funzione composta g(f(x)) è:

Ne consegue che il campo di esistenza di è l'insieme vuoto.
o, ciò che è lo stesso, è priva di significato.

Questo esercizio ci suggerisce, dunque, che nella determinazione della funzione composta (a partire da due funzioni assegnate) non bisogna procedere "meccanicamente", ossia sostituendo le variabili in automatiche, bensì è fondamentale determinare subito il campo di esistenza della funzione composta.
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[¯|¯] Esercizio sulle funzioni inverse

lunedì, Ottobre 6th, 2014

Studiare l'invertibilità della funzione:

\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{x+2}{2x-1}\label{eq: f_inversa}%
\end{equation}

Svolgimento

Determiniamo innanzitutto l'insieme di definizione (o campo di esistenza) della funzione proposta.
Deve essere $2x-1\not =0$, cioè $x\not =\frac{1}{2}$, per cui:

$$X=\left( -\infty,\frac{1}{2}\right) \cup\left( \frac{1}{2},+\infty\right)$$

o, ciò che è lo stesso $X=\mathbb{R}\diagdown\left\{\frac{1}{2}\right\}$. Per lo studio dell'invertibilità, occorre risolvere l'equazione:

$$\frac{x+2}{2x-1}=y,$$

ottenendo:

$$x=\frac{y+2}{2y-1},$$

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