[¯|¯] Esercizio sulle funzioni inverse

Ottobre 6th, 2014 | by extrabyte |
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Studiare l'invertibilità della funzione:

\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{x+2}{2x-1}\label{eq: f_inversa}%
\end{equation}

Svolgimento

Determiniamo innanzitutto l'insieme di definizione (o campo di esistenza) della funzione proposta.
Deve essere 2x-1\not =0, cioè x\not =\frac{1}{2}, per cui:

X=\left(  -\infty,\frac{1}{2}\right)  \cup\left(  \frac{1}{2},+\infty\right)


o, ciò che è lo stesso X=\mathbb{R}\diagdown\left\{\frac{1}{2}\right\}. Per lo studio dell'invertibilità, occorre risolvere l'equazione:

\frac{x+2}{2x-1}=y,


ottenendo:

x=\frac{y+2}{2y-1},





da cui la funzione inversa della (\ref{eq: f_inversa}):

f^{-1}\left(  y\right)  =\frac{y+2}{2y-1},


definita in \mathbb{R}\diagdown\left\{  \frac{1}{2}\right\}  . Ciò equivale a dire che y_{1}\notin f\left(  X\right)  , dove y_{1}=\frac{1}{2}.

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