Risolto dopo 150 anni uno dei più grandi problemi matematici

Novembre 23rd, 2021 | by Marcello Colozzo |

ipotesi di riemann,Giuseppe Mussardo,Andrè Leclair,
Fonte dell'immagine ANSA


Traduzione dell'abstract di quest'articolo.

La validità dell'Ipotesi di Riemann (RH) sulla distribuzione degli zeri non banali dell'omonima funzione zeta è direttamente correlata alla monotonia della funzione di Mertens

dove ε > 0 è assegnato ad arbitrio. Nel nostro lavoro mostriamo che questo comportamento può essere stabilito sulla base di un nuovo approccio probabilistico basato sulla proprietà globali della funzione di Mertens. A tale scopo focalizziamo l'attenzione sugli interi privi di quadrati e ricaviamo un insieme di risultati probabilistici riguardanti la distribuzione dei numeri primi lungo la serie di quadrati liberi, il numero medio dei divisori primi, il teorema di Erdos-Kac per i numeri senza quadrati, ecc.

Questi risultati portano alla conclusione che la funzione di Mertens è soggetta a una distribuzione normale allo stesso modo di un random walk. Presentiamo anche un argomento a favore della tesi che la validità dell'ipotesi di Riemann implica anche la validità dell'ipotesi di Riemann generalizzata per Funzioni L di Dirichlet. Successivamente studiamo le proprietà locali della funzione di Mertens, ovvero la sua variazione indotto da ogni coefficiente di Möbius ristretto ai numeri quadrati liberi.

Motivati dal naturale curiosità di vedere quanto è vicina a un random walk puro, ogni sottosequenza estratta dalla sequenza dei coefficienti di Möbius per i numeri quadrati liberi, eseguiamo una massiccia analisi statistica su tali coefficienti, applicando una serie di test di casualità di precisione crescente e complessità: insieme a diversi test di frequenza all'interno di un blocco, l'elenco dei nostri test include quelli per la serie più lunga di unità in un blocco, il test di rango della matrice binaria, la trasformata discreta di Fourier til test di corrispondenza del modello non sovrapposto, il test dell'entropia, il test della somma cumulativa, prove di escursione casuale, ecc. per un totale di diciotto prove diverse.

Le uscite di successo di tutti questi test (ognuno con un livello di confidenza del 99% che tutte le sottosequenze analizzate sono effettivamente casuali) possono essere viste come impressionanti conferme "sperimentali" della natura browniana dei coefficienti di Möbius ristretti e della distribuzione probabilistica della legge normale del Mertens, funzione analiticamente stabilita in precedenza. In considerazione dell'argomento probabilistico teorico e della grande batteria di test statistici, possiamo concludere che una violazione della RH è è estremamente improbabile, ma non necessariamente impossibile.

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